关键步骤写清楚
公式使用条件要明确
卷面整洁
按题号作答
数学题目整理：卷面标准作答版
对，你这个反馈很准确。搜索到的通用答题规范核心是：关键步骤写清楚、公式使用条件要明确、卷面整洁、按题号作答；尤其数学大题要把得分点写出来，不要写成口语讲解。沈阳航空航天大学招生信息中也提到，数学答题“关键步骤一定要写清楚”，公式要注意使用条件，卷面要整洁，避免乱涂乱画。([沈阳航空航天大学招生网][1]) 另一份答题策略也强调网上阅卷时要“书写规范、卷面整洁、对号入座、要点分明”。([沈阳航空航天大学招生网][2])
下面我重写成卷面作答版：只保留必要条件、列式、计算、结论。
3. 求下列函数所有的二阶偏导数
（1）
\[
z=x^4-4x^2y^2+y^4
\]
解：
\[
z_x=4x^3-8xy^2,\qquad z_y=-8x^2y+4y^3
\]
\[
z_{xx}=12x^2-8y^2
\]
\[
z_{xy}=z_{yx}=-16xy
\]
\[
z_{yy}=-8x^2+12y^2
\]
故
\[
\boxed{
z_{xx}=12x^2-8y^2,\quad
z_{xy}=z_{yx}=-16xy,\quad
z_{yy}=-8x^2+12y^2
}
\]
（2）
\[
z=x\ln(xy)
\]
解：
\[
z_x=\ln(xy)+1,\qquad z_y=\frac{x}{y}
\]
\[
z_{xx}=\frac1x
\]
\[
z_{xy}=z_{yx}=\frac1y
\]
\[
z_{yy}=-\frac{x}{y^2}
\]
故
\[
\boxed{
z_{xx}=\frac1x,\quad
z_{xy}=z_{yx}=\frac1y,\quad
z_{yy}=-\frac{x}{y^2}
}
\]
4. 设 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\)，求证：
\[
\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac1z
\]
证明：
\[
z=(x^2+y^2)^{1/2}
\]
\[
z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad
z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
\]
\[
z_{xx}=\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}
\]
\[
z_{yy}=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}
\]
于是
\[
\begin{aligned}
z_{xx}+z_{yy}
&=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\
&=\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}\\
&=\frac1z
\end{aligned}
\]
故
\[
\boxed{
\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac1z
}
\]
证毕。
5. 求曲线在点 \((2,4,5)\) 处切线关于 \(x\) 轴的斜率
\[
\begin{cases}
z=\dfrac{x^2+y^2}{4}\\
y=4
\end{cases}
\]
解：
由 \(y=4\)，得
\[
z=\frac{x^2+16}{4}
\]
故
\[
\frac{dz}{dx}=\frac{x}{2}
\]
在点 \((2,4,5)\) 处，\(x=2\)，于是
\[
\left.\frac{dz}{dx}\right|_{x=2}=1
\]
所以所求斜率为
\[
\boxed{1}
\]
2. 利用二重积分的性质直接给出积分值
（1）
\[
\iint_D d\sigma,\qquad D:\ |x|\leq1,\ |y|\leq2
\]
解：
\[
\iint_D d\sigma=S_D
\]
而
\[
D:\ -1\leq x\leq1,\quad -2\leq y\leq2
\]
故
\[
S_D=2\times4=8
\]
所以
\[
\boxed{\iint_D d\sigma=8}
\]
（2）
\[
\iint_D d\sigma,\qquad D:\ x^2+y^2=4
\]
解：
若严格按
\[
D:\ x^2+y^2=4
\]
则 \(D\) 为圆周，不是平面区域，面积为 \(0\)，故
\[
\boxed{\iint_D d\sigma=0}
\]
若原题应为
\[
x^2+y^2\leq4
\]
则 \(D\) 为半径 \(2\) 的圆盘，故
\[
\iint_D d\sigma=\pi\cdot2^2=4\pi
\]
即
\[
\boxed{4\pi}
\]
3. 根据二重积分性质比较大小
（1）
比较
\[
\iint_D (x+y)^2\,d\sigma
\]
与
\[
\iint_D (x+y)^3\,d\sigma
\]
其中 \(D\) 由 \(x\) 轴、\(y\) 轴与直线 \(x+y=1\) 围成。
解：
在 \(D\) 上，
\[
x\geq0,\quad y\geq0,\quad x+y\leq1
\]
故
\[
0\leq x+y\leq1
\]
于是
\[
(x+y)^2\geq (x+y)^3
\]
且不恒相等，所以
\[
\boxed{
\iint_D (x+y)^2\,d\sigma
>
\iint_D (x+y)^3\,d\sigma
}
\]
（2）
比较
\[
\iint_D e^{xy}\,d\sigma
\]
与
\[
\iint_D e^{2xy}\,d\sigma
\]
其中
\[
D:\ 0\leq x\leq1,\quad 0\leq y\leq1
\]
解：
在 \(D\) 上，
\[
xy\geq0
\]
故
\[
xy\leq2xy
\]
又 \(e^t\) 单调递增，所以
\[
e^{xy}\leq e^{2xy}
\]
且不恒相等，故
\[
\boxed{
\iint_D e^{xy}\,d\sigma
<
\iint_D e^{2xy}\,d\sigma
}
\]
1. 计算下列各题
（1）
\[
\iint_D (x+2y)\,dxdy
\]
\[
D:\ -1\leq x\leq1,\quad 0\leq y\leq2
\]
解：
\[
\begin{aligned}
\iint_D (x+2y)\,dxdy
&=\int_{-1}^{1}\int_0^2(x+2y)\,dy\,dx\\
&=\int_{-1}^{1}(2x+4)\,dx\\
&=\left(x^2+4x\right)\bigg|_{-1}^{1}\\
&=8
\end{aligned}
\]
故
\[
\boxed{8}
\]
（2）
\[
\iint_D (x-y)\,dxdy
\]
\(D\) 由 \(y=x,\ x=1,\ y=0\) 围成。
解：
\[
D:\ 0\leq x\leq1,\quad 0\leq y\leq x
\]
\[
\begin{aligned}
\iint_D(x-y)\,dxdy
&=\int_0^1\int_0^x(x-y)\,dy\,dx\\
&=\int_0^1\left(xy-\frac{y^2}{2}\right)\bigg|_0^x dx\\
&=\int_0^1\frac{x^2}{2}\,dx\\
&=\frac16
\end{aligned}
\]
故
\[
\boxed{\frac16}
\]
（3）
\[
\iint_D x\sqrt y\,dxdy
\]
\(D\) 由
\[
y=\sqrt{x},\qquad y=x^2
\]
围成。
解：
由
\[
\sqrt{x}=x^2
\]
得
\[
x=0,\quad x=1
\]
故
\[
D:\ 0\leq x\leq1,\quad x^2\leq y\leq\sqrt{x}
\]
\[
\begin{aligned}
\iint_Dx\sqrt y\,dxdy
&=\int_0^1\int_{x^2}^{\sqrt{x}}x\sqrt y\,dy\,dx\\
&=\frac23\int_0^1x\left(y^{3/2}\right)\bigg|_{x^2}^{\sqrt{x}}dx\\
&=\frac23\int_0^1x\left(x^{3/4}-x^3\right)dx\\
&=\frac23\int_0^1\left(x^{7/4}-x^4\right)dx\\
&=\frac23\left(\frac4{11}-\frac15\right)\\
&=\frac6{55}
\end{aligned}
\]
故
\[
\boxed{\frac6{55}}
\]
（4）
\[
\iint_D\left(\frac{x}{y}\right)^2dxdy
\]
\(D\) 由
\[
y=x,\quad x=2,\quad xy=1
\]
围成。
解：
由 \(y=x\) 与 \(xy=1\)，得
\[
x=1,\quad y=1
\]
故
\[
D:\ 1\leq x\leq2,\quad \frac1x\leq y\leq x
\]
\[
\begin{aligned}
\iint_D\left(\frac{x}{y}\right)^2dxdy
&=\int_1^2\int_{1/x}^x\frac{x^2}{y^2}\,dy\,dx\\
&=\int_1^2x^2\left(-\frac1y\right)\bigg|_{1/x}^x dx\\
&=\int_1^2(x^3-x)\,dx\\
&=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_1^2\\
&=\frac94
\end{aligned}
\]
故
\[
\boxed{\frac94}
\]
（5）
\[
\iint_D\frac{\sin y}{y}\,dxdy
\]
\(D\) 由
\[
y=x,\quad x=0,\quad y=\frac{\pi}{2},\quad y=\pi
\]
围成。
解：
\[
D:\ \frac{\pi}{2}\leq y\leq\pi,\quad 0\leq x\leq y
\]
\[
\begin{aligned}
\iint_D\frac{\sin y}{y}\,dxdy
&=\int_{\pi/2}^{\pi}\int_0^y\frac{\sin y}{y}\,dx\,dy\\
&=\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\,dy\\
&=-\cos y\bigg|_{\pi/2}^{\pi}\\
&=1
\end{aligned}
\]
故
\[
\boxed{1}
\]
3. 确定 \(a,b\) 的值
\[
\begin{vmatrix}
a&b&0\\
-b&a&0\\
-67&54&87
\end{vmatrix}=0
\]
解：
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
a&b&0\\
-b&a&0\\
-67&54&87
\end{vmatrix}
&=
87
\begin{vmatrix}
a&b\\
-b&a
\end{vmatrix}\\
&=87(a^2+b^2)
\end{aligned}
\]
由题意得
\[
87(a^2+b^2)=0
\]
即
\[
a^2+b^2=0
\]
所以
\[
\boxed{a=0,\quad b=0}
\]
4. 写出对应的三阶行列式
已知
\[
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{vmatrix}
\]
\(A_{ij}\) 为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式。
解：
由第三列展开得
\[
aA_{13}+bA_{23}+cA_{33}
=
\begin{vmatrix}
1&2&a\\
4&5&b\\
7&8&c
\end{vmatrix}
\]
故对应行列式为
\[
\boxed{
\begin{vmatrix}
1&2&a\\
4&5&b\\
7&8&c
\end{vmatrix}
}
\]
2. 用行列式性质计算
（4）
\[
D=
\begin{vmatrix}
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{vmatrix}
\]
解：
将第 \(2,3,4\) 行都加到第 \(1\) 行，得
\[
D=
\begin{vmatrix}
3&3&3&3\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{vmatrix}
\]
提取第 \(1\) 行公因子 \(3\)：
\[
D=3
\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{vmatrix}
\]
作行变换：
\[
R_2\leftarrow R_2-R_1,\quad
R_3\leftarrow R_3-R_1,\quad
R_4\leftarrow R_4-R_1
\]
得
\[
D=3
\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{vmatrix}
\]
\[
D=3(-1)^3=-3
\]
故
\[
\boxed{-3}
\]
（5）
\[
D=
\begin{vmatrix}
1&2&3&4\\
2&3&4&0\\
3&4&0&0\\
4&0&0&0
\end{vmatrix}
\]
解：
按第 \(4\) 行展开：
\[
D=4(-1)^{4+1}
\begin{vmatrix}
2&3&4\\
3&4&0\\
4&0&0
\end{vmatrix}
\]
\[
=-4
\begin{vmatrix}
2&3&4\\
3&4&0\\
4&0&0
\end{vmatrix}
\]
\[
=-4\cdot
4
\begin{vmatrix}
3&4\\
4&0
\end{vmatrix}
\]
\[
=-16(0-16)=256
\]
故
\[
\boxed{256}
\]
（6）
\[
D=
\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&2&3&4\\
1&3&9&16\\
1&8&27&64
\end{vmatrix}
\]
解：
计算得
\[
D=60
\]
故
\[
\boxed{60}
\]
注：若原题第三行第二项为 \(4\)，即为范德蒙德型：
\[
\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&2&3&4\\
1&4&9&16\\
1&8&27&64
\end{vmatrix}
\]
则
\[
D=\prod_{1\leq i
\[
=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12
\]
1. 利用克莱姆法则求解
（2）
\[
\begin{cases}
x_1+2x_2+3x_3-x_4=1\\
x_1+3x_2+4x_3=1\\
x_2+2x_3+x_4=-1\\
2x_1+2x_2+5x_3-3x_4=1
\end{cases}
\]
解：
\[
D=
\begin{vmatrix}
1&2&3&-1\\
1&3&4&0\\
0&1&2&1\\
2&2&5&-3
\end{vmatrix}
=1\neq0
\]
\[
D_1=2,\quad D_2=1,\quad D_3=-1,\quad D_4=0
\]
由克莱姆法则，
\[
x_i=\frac{D_i}{D}
\]
故
\[
\boxed{
x_1=2,\quad x_2=1,\quad x_3=-1,\quad x_4=0
}
\]
（5）
\[
\begin{cases}
x_1-2x_2+x_3=1\\
2x_1+x_2-x_3=1\\
x_1-3x_2-4x_3=-10
\end{cases}
\]
解：
\[
D=
\begin{vmatrix}
1&-2&1\\
2&1&-1\\
1&-3&-4
\end{vmatrix}
=-28\neq0
\]
\[
D_1=-28,\quad D_2=-28,\quad D_3=-56
\]
由克莱姆法则，
\[
x_i=\frac{D_i}{D}
\]
故
\[
\boxed{
x_1=1,\quad x_2=1,\quad x_3=2
}
\]
2. 当 \(k\) 取何值时方程组有非零解？
\[
\begin{cases}
3x+2y-z=0\\
kx+7y-2z=0\\
2x-y+3z=0
\end{cases}
\]
解：
齐次线性方程组有非零解的充要条件为系数行列式为 \(0\)。
\[
D=
\begin{vmatrix}
3&2&-1\\
k&7&-2\\
2&-1&3
\end{vmatrix}
\]
\[
D=63-5k
\]
令
\[
63-5k=0
\]
得
\[
\boxed{k=\frac{63}{5}}
\]
3. 当 \(\lambda,\mu\) 分别取何值时有非零解？
\[
\begin{cases}
\lambda x_1+x_2+x_3=0\\
x_1+\mu x_2+x_3=0\\
x_1+2\mu x_2+x_3=0
\end{cases}
\]
解：
齐次线性方程组有非零解的充要条件为
\[
D=0
\]
其中
\[
D=
\begin{vmatrix}
\lambda&1&1\\
1&\mu&1\\
1&2\mu&1
\end{vmatrix}
\]
计算得
\[
D=-\mu(\lambda-1)
\]
令
\[
-\mu(\lambda-1)=0
\]
得
\[
\boxed{\mu=0\quad \text{或}\quad \lambda=1}
\]
1. 计算下列各题
（3）
\[
\begin{pmatrix}
0&3&1\\
1&-2&3\\
4&1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
\]
解：
\[
\begin{pmatrix}
0\cdot1+3(-1)+1\cdot0\\
1\cdot1+(-2)(-1)+3\cdot0\\
4\cdot1+1(-1)+0\cdot0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
3
\end{pmatrix}
\]
故
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
-3\\
3\\
3
\end{pmatrix}
}
\]
（4）
\[
(1\ 2\ 3)
\begin{pmatrix}
3\\
2\\
1
\end{pmatrix}
\]
解：
\[
\begin{aligned}
(1\ 2\ 3)
\begin{pmatrix}
3\\
2\\
1
\end{pmatrix}
&=1\cdot3+2\cdot2+3\cdot1\\
&=10
\end{aligned}
\]
故
\[
\boxed{10}
\]
（5）
\[
\begin{pmatrix}
2&0&4&0\\
1&-1&3&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&-1&1\\
0&0&2\\
1&3&1\\
4&0&2
\end{pmatrix}
\]
解：
\[
\begin{pmatrix}
6&10&6\\
12&8&6
\end{pmatrix}
\]
故
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
6&10&6\\
12&8&6
\end{pmatrix}
}
\]
4. 已知矩阵
\[
A=
\begin{pmatrix}
-3&0&1&5\\
2&-1&4&7\\
1&3&0&6
\end{pmatrix}
\]
\[
B=
\begin{pmatrix}
7&-2&0&1\\
-1&4&5&-3\\
2&0&3&8
\end{pmatrix}
\]
（1）
\[
5A^T+3B^T
\]
解：
\[
5A^T+3B^T=(5A+3B)^T
\]
\[
5A+3B=
\begin{pmatrix}
6&-6&5&28\\
7&7&35&26\\
11&15&9&54
\end{pmatrix}
\]
故
\[
5A^T+3B^T
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
6&7&11\\
-6&7&15\\
5&35&9\\
28&26&54
\end{pmatrix}
}
\]
（2）
\[
AB^T
\]
解：
\[
AB^T
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
-16&-7&37\\
23&-7&72\\
7&-7&50
\end{pmatrix}
}
\]
（3）
\[
(A^TB)^T
\]
解：
\[
(A^TB)^T=B^TA
\]
\[
B^TA
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
-21&7&3&40\\
14&-4&14&18\\
13&4&20&53\\
-1&27&-11&32
\end{pmatrix}
}
\]
1. 设矩阵
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&-1&0\\
1&0&1
\end{pmatrix},
\quad
B=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
2&1&0\\
0&2&1
\end{pmatrix}
\]
（1）
\[
|-2B|
\]
解：
\[
|-2B|=(-2)^3|B|
\]
又
\[
|B|=1
\]
故
\[
|-2B|=-8
\]
\[
\boxed{-8}
\]
（2）
\[
|AB|
\]
解：
\[
|AB|=|A||B|
\]
\[
|A|=-2,\qquad |B|=1
\]
故
\[
|AB|=-2
\]
\[
\boxed{-2}
\]
2. 设
\[
A=
\begin{pmatrix}
3&1\\
0&2
\end{pmatrix}
\]
（1）
\[
A^*
\]
解：
\[
A^*
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
2&-1\\
0&3
\end{pmatrix}
}
\]
（2）
\[
A^{-1}
\]
解：
\[
|A|=6
\]
\[
A^{-1}=\frac1{|A|}A^*
=
\frac16
\begin{pmatrix}
2&-1\\
0&3
\end{pmatrix}
\]
\[
\boxed{
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
\frac13&-\frac16\\
0&\frac12
\end{pmatrix}
}
\]
（3）
\[
(A^*)^{-1}
\]
解：
\[
A^*=
\begin{pmatrix}
2&-1\\
0&3
\end{pmatrix}
\]
\[
(A^*)^{-1}
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
\frac12&\frac16\\
0&\frac13
\end{pmatrix}
}
\]
3. 下列矩阵是否存在逆矩阵？若存在，求逆
（1）
\[
A=
\begin{pmatrix}
-1&2\\
2&-5
\end{pmatrix}
\]
解：
\[
|A|=(-1)(-5)-2\cdot2=1\neq0
\]
故 \(A\) 可逆。
\[
A^{-1}
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
-5&-2\\
-2&-1
\end{pmatrix}
}
\]
（2）
\[
A=
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
-\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
\]
解：
\[
|A|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\neq0
\]
故 \(A\) 可逆。
\[
A^{-1}
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
}
\]
（3）
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&2&-1\\
3&0&-2\\
0&-4&1
\end{pmatrix}
\]
解：
\[
|A|=-2\neq0
\]
故 \(A\) 可逆。
\[
A^{-1}
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
4&-1&2\\
\frac32&-\frac12&\frac12\\
6&-2&3
\end{pmatrix}
}
\]
3. 下列矩阵是否存在逆矩阵？若存在，求逆
（5）
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\]
解：
\[
|A|=1\neq0
\]
故 \(A\) 可逆。
\[
A^{-1}
=
\boxed{
\begin{pmatrix}
1&-1&0\\
0&1&-1\\
0&0&1
\end{pmatrix}
}
\]
4. 设 \(A\) 是三阶方阵，\(|A|=\dfrac12\)，计算下列行列式
（1）
\[
|-2A|
\]
解：
\[
|-2A|=(-2)^3|A|
\]
\[
=-8\cdot\frac12=-4
\]
\[
\boxed{-4}
\]
（2）
\[
|A^*|
\]
解：
\[
|A^*|=|A|^{3-1}
\]
\[
=\left(\frac12\right)^2=\frac14
\]
\[
\boxed{\frac14}
\]
（3）
\[
|(A^{-1})^T|
\]
解：
\[
|(A^{-1})^T|=|A^{-1}|=\frac1{|A|}
\]
\[
=\frac1{1/2}=2
\]
\[
\boxed{2}
\]
（4）
\[
|3A^*-A^{-1}|
\]
解：
\[
A^*=|A|A^{-1}=\frac12A^{-1}
\]
\[
\begin{aligned}
3A^*-A^{-1}
&=3\cdot\frac12A^{-1}-A^{-1}\\
&=\frac12A^{-1}
\end{aligned}
\]
故
\[
\begin{aligned}
|3A^*-A^{-1}|
&=\left|\frac12A^{-1}\right|\\
&=\left(\frac12\right)^3|A^{-1}|\\
&=\frac18\cdot2\\
&=\frac14
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\frac14}
\]